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domingo, 19 de junho de 2011

Pedagogia da Travessia


Rubem Alves

A MENINA QUE me conduzia pela Escola da Ponte na minha primeira visita me disse que na sua escola não havia professores dando aulas. Espantei-me. Nunca me havia passado pela cabeça que houvesse escolas em que professores não davam aulas. Pois as aulas não são o centro mesmo da atividade escolar? As aulas não são o método que as escolas usam para transmitir saberes? E os professores não são os portadores desses saberes? Todo mundo sabe que a missão de um professor é "dar a matéria"... As escolas existem para que as aulas aconteçam... E agora essa menininha me diz que, na sua escola, não havia professores dando aulas e ensinando saberes...

E mais: naquela escola, as crianças não ficavam separadas em espaços diferenciados, de acordo com seu adiantamento: os miúdos ficavam misturados aos graúdos... Mas a separação dos alunos segundo os seus saberes não seria uma exigência da ordem e da eficácia?

Disse ainda que não havia nem provas nem notas. Mas a avaliação... Como se pode avaliar o que foi aprendido se não há provas? Provas são instrumentos de avaliação!

E também não havia as divisões no tempo do pensamento. Nas escolas normais, o pensamento é como na televisão: a intervalos regulares, muda-se o programa. Uma campainha toca: 45 minutos, todos pensam matemática. Transcorridos 45 minutos a campainha toca de novo, os pensamentos da matemática são guardados e, no seu lugar, são colocados os pensamentos de história, até que a campainha toque de novo e os pensamentos de história sejam substituídos pelos pensamentos da biologia. Tudo em ordem perfeita, como soldados em parada, todos caminham juntos aprendendo as mesmas coisas no mesmo tempo, numa imitação das linhas de montagem. Que extraordinárias "máquinas de pensar" são os alunos, que mudam os pensamentos automaticamente ao comando de uma campainha!

Perguntei, então, à menina: "E como é que vocês aprendem?". Ela não titubeou: "Formamos grupos de seis alunos em torno de um tema de interesse comum..."
Percebi que, naquela escola, não havia nada que se assemelhasse às "grades curriculares". Grades... Somente um carcereiro desempregado poderia ter ideia tal. Grades. Não há opções, não há escolhas: um desconhecido colocou os saberes obrigatórios dentro de uma grade; conhecimentos "engradados"...

Mas a menina me havia dito que tudo se iniciava com o desejo de aprender algo, curiosidade, que nem precisava estar em qualquer grade obrigatória. Esse desejo era a alma da aprendizagem, a provocação da inteligência. Continuou:
"Convidamos um professor para ser nosso orientador..."

Pode até acontecer que o professor nada saiba sobre esse "tema de interesse comum". Não importa. Os professores não sabem tudo. Não sabendo, pesquisam. E os alunos, ao ver o professor explorando os caminhos que o levam àquilo que ele não sabe, perceberão que o aprender não está nem na partida nem na chegada, mas na travessia, como disse o educador Riobaldo. E fiquei a pensar em como seria essa coisa a que se poderia dar o nome de "pedagogia da travessia"...

Fonte: Folha de São Paulo

domingo, 12 de junho de 2011

“Número de Deus” é 20, dizem matemáticos


Da Folha de S. Paulo – 11/08/2010
DA NEW SCIENTIST

Após anos de tentativas, pesquisadores conseguiram mostrar que é possível resolver em até 20 movimentos o “Cubo de Rubik” – um quebra-cabeça 3D criado em 1974 pelo húngaro Ernõ Rubik – a partir de qualquer arranjo inicial.
O feito foi realizado pela combinação do poder dos computadores usados pelo Google com alguns insights matemáticos, o que permitiu checar todas as 43 quintilhões de possíveis posições que o cubo pode assumir.
“O grande avanço foi descobrir um meio de resolver tantas posições, todas de uma vez, a uma grande velocidade”, afirmou Tomas Rokicki, programador de Palo Alto, Califórnia, que passou os últimos 15 anos procurando pelo número mínimo de movimentos necessários para resolver qualquer configuração do Cubo de Rubik.
Esse número mínimo de movimentos é chamado de “Número de Deus”, pois nem o Todo Poderoso conseguiria resolver mais rapidamente o quebra-cabeças.

EXPLORANDO A SIMETRIA

Para simplificar o problema, Rokicki e colaboradores usaram técnicas de um ramo da matemática chamado teoria de grupos.
Primeiro eles dividiram todas as possíveis configurações iniciais em 2,2 bilhões de conjuntos, cada um contendo 19,5 bilhões de configurações (2,2 bilhões x 19,5 bilhões = 42,9 quintilhões). O critério da divisão foi a maneira como essas configurações respondiam a um grupo de 10 movimentos possíveis.
Esse agrupamento permitiu que a equipe reduzisse o número de conjuntos para 56 milhões ao explorar as simetrias do cubo. Por exemplo, virar o cubo de cima para baixo não torna o problema mais difícil, então essas posições equivalentes podem ser ignoradas.
Isso ainda deixa um vasto número de configurações iniciais para ser checadas. A equipe então desenvolveu um algoritmo para acelerar esse processo.

BECOS SEM SAÍDA

Métodos anteriores resolviam cerca de 4.000 cubos por segundo, tentando um conjunto de posições iniciais e determinando se a posição resultante o aproximava da solução. Se não o fizesse, o algoritmo se desfazia desses movimentos e começava de novo.
O insight de Rokicki foi notar que esses becos sem saída são, na realidade, soluções para um cubo com uma posição inicial diferente. Isso o levou a um algoritmo que conseguia tentar um bilhão de cubos por segundo.
Uma maneira de entender seu algoritmo (conjunto de regras para solução de um problema) é a seguinte: suponha que a tarefa seja visitar um amigo em uma cidade desconhecida e que você tenha recebido instruções para virar à esquerda ou à direita, mas que as instruções não tenham incluído a posição inicial. Se você seguir as instruções a partir de uma posição inicial qualquer, é improvável que chegue a seu destino. Mas pareando os movimentos direita-esquerda à posição inicial correta o levará ao destino.
Da mesma forma, o algoritmo da equipe rapidamente pareia movimentos com a posição inicial correta, permitindo a resolução de cada conjunto de 19,5 bilhões de configurações em 20 segundos.

IMPÉRIO DA COMPUTAÇÃO

Mesmo a essa velocidade, levaria 35 anos para completar toda a tarefa em um computador pessoal. A solução da equipe foi pedir ajuda ao Google.
O engenheiro da empresa John Dethridge, em Mountain View, Califórnia, conseguiu acesso aos supercomputadores da empresa para resolver o problema em semanas.
Sabia-se que algumas configurações iniciais requerem apenas 20 movimentos para serem resolvidas, e alguns matemáticos suspeitavam que nenhuma configuração exigiria mais do que isso. A busca exaustiva da equipe de Rokicki mostra que a suspeita estava correta.
“Pesquisa desse tipo mostra como matemática pura pode ser usada para transformar problemas computacionais difíceis em problemas mais tratáveis”, diz Mark Kambites, um matemático na Universidade de Manchester que não participou do trabalho. “O Cubo de Rubik é um caso interessante para os métodos de teoria de grupos computacional.”
O trabalho ainda precisa passar pelo crivo da revisão por pares, mas Rokicki ressalta que a pesquisa é uma extensão de um trabalho anterior publicado no periódico “The Mathematical Intelligencer”. Naquele trabalho, o “Número de Deus” havia sido reduzido para 22.

Mais curiosidades sobre o Cubo Mágico
  • O cubo de Rubik possui 43.000.000.000.000.000.000 (43 quintiliões ou quintilhões (Escala curta)/43 triliões  ou trilhões (Escala longa) de combinações possíveis diferentes.
  • Se alguém pudesse realizar todas as combinações possíveis a uma velocidade de 10 por segundo, demoraria 136.000 anos, supondo que nunca repetisse a mesma combinação.
  • Ernő Rubik, inventor deste quebra-cabeça, demorou um mês a resolver o cubo pela primeira vez.
  • É considerado um dos brinquedos mais populares do mundo, atingindo um total de 900 milhões de unidades vendidas, bem como suas diferentes imitações.
Número de combinações possíveis
O número total de todas as combinações possíveis que nos permite realizar no cubo de Rubik são as seguintes:
  • Por uma parte podemos combinar entre si, de qualquer forma, todos os vértices, o que dá lugar a 8 possibilidades.
  • Também temos as combinações dos cubos das arestas que são 12 existindo assim 12 possibilidades.
  • Sendo que tem 3 cores em cada cubo de vértice e sendo 8 cubos temos 38 possibilidades, contudo apenas frac {1}{3} dessas possibilidades procedem.
  • Sendo que temos 2 cores e cada cubo das arestas temos 212 possibilidades, contudo apenas frac {1}{4} dessas possibilidades procedem.
Não foi um matemático. Como assim?!
O primeiro protótipo do cubo foi fabricado em 1974 pelo professor do Departamento de Desenho de Interiores na Academia de Artes e Trabalhos Manuais Aplicados em Budapeste (Hungria). Quando Rubik criou este quebra-cabeça, a sua intenção era criar uma peça que fosse perfeita em si mesmo, no que se refere à geometria. A sua principal função foi para ajudar a ilustrar o conceito da terceira dimensão aos seus alunos de arquitetura. A primeira peça que realizou foi em madeira e pintou os seus seis lados com seis cores distintas, para que, quando alguém girasse as faces do cubo, tivesse uma melhor visualização dos movimentos realizados.
Teorias sobre a Resolução
O cubo de Rubik é um teste básico para problemas de busca e enumeração.” diz Gene Cooperman . “Busca e enumeração é uma enorme área de pesquisas, abrangendo muitos pesquisadores trabalhando em diferentes disciplinas – da inteligência artificial às operações. O cubo de Rubik permite que os pesquisadores de diferentes disciplinas comparem seus métodos em um problema único e bem conhecido.
Os movimentos executados para resolver o cubo, na realidade são comutadores, definidos pela fórmula:
[a,b] = a * b * a ^ (-1) * b ^ (-1)
Solução ótima
Utilizando a teoria dos grupos, Gene Cooperman e Daniel Kunkle testaram não apenas movimentos individuais, mas também grupos de movimentos, de forma a otimizar a solução. Foram 100 milhões de movimentos por segundo, até chegar ao resultado final.
E parece haver espaço para melhorias nos cálculos. Em 1997, o professor de ciência da computação Richard Korf afirmou que a solução ótima para o cubo de Rubik é de 18 movimentos. Até então,o melhor método é chamado de método Fridrich ,elaborado por Jessica Fridrich ,no qual é possível resolver em menos de 30 segundos

Permutações, grupos e as Configurações do Cubo

Uma permutação é um rearranjo de um conjunto de objetos. Matrizes são convenientes para descrever permutações. Mas há um modo mais simples: a notação de ciclos. Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 →…→ Sn → S1 Os movimentos R; L; F; B; U; D permutam o conjunto das facetas. Um fato importante surge quando usamos a notação de ciclos: toda permutação se decompõe como “produto” de ciclos disjuntos.

Aprenda a montar

terça-feira, 10 de maio de 2011

O aprendizado de Matemática.

"Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras que sejam suas preleções, por mais que se entenda tudo que ele explica". Isto ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça com o tempo...Mas este estudo exige muita disciplina e concentração: estuda-se sentado à mesa, com lápis e papel à mão, prontos para serem usados a todo momento. Você tem que interromper a leitura...para fazer um gráfico ou diagrama, ou alguma figura que ajude a seguir o raciocínio do livro, sugerir ou testar uma idéia...Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente...Os exercícios são uma das partes mais importante do livro. De nada adianta estudar a teoria sem aplicar-se na resolução dos exercícios propostos. Muitos desses exercícios são complementos da teoria e não podem ser negligenciados, sob pena de grande prejuízo no aprendizado.Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está realmente aprendendo a aprender." Geraldo Ávila

domingo, 23 de janeiro de 2011

A História da Matemática (The Story of Maths) 2008


Sinopse: Esta série memorável apresentada pelo professor Marcus du Sautoy da Universidade de Oxford, leva-nos numa viagem através dos tempos e à volta do mundo a sítios como o Egipto, a China, a Índia, a Rússia, o Médio Oriente a Europa e os Estados Unidos da América. Os episódios desta série ambiciosa oferecem explicações claras e acessíveis de ideias matemáticas importantes, mas também nos conta histórias cativantes, pormenores biográficos fascinantes e episódios centrais nas vidas dos maiores matemáticos. Interessante, esclarecedora e divertida, esta série oferece aos espectadores vislumbres novos e extraordinários relativamente à importância da Matemática, estabelecendo esta disciplina como um dos maiores feitos culturais da Humanidade.
    Episódio 1 - A Linguagem do Universo

    Neste primeiro episódio, Marcus du Sautoy irá olhar para a importância que a Matemática tem para as nossas vidas, antes de analisar a matemática do Antigo Egipto, Mesopotâmia e Grécia, abordando a matemática da construção das pirâmides, a descoberta do Pi, a importância dos triângulos rectângulos e da geometria grega, onde pontificaram os grandes nomes de Platão, Pitágoras, Euclides e Arquimedes.

    Episódio 2 - O Génio do Oriente

    Marcus du Sautoy irá visitar o Oriente neste episódio. Enquanto a Europa estava mergulhada na Idade das Trevas, a Matemática avançava no Oriente, nomeadamente na China e na Índia, e mais tarde no Médio Oriente.
    Analisaremos as maiores descobertas matemáticas deste período, altura em que surgiu o sistema de notação decimal, o zero, a Álgebra e a Trigonometria, avanços obtidos graças às mentes de Ch’in Ju Xiao, Madhava, Omar Khayyam, Muhammad al-Khwarizmi, Fibonacci e Tartaglia.

    Episódio 3 - As Fronteiras do Espaço

    No século XVII, a Europa tornou-se no centro matemático do mundo. Tinham sido dados grandes passos na compreensão da geometria dos objectos fixos no espaço e no tempo. Chegava a altura de procurar desvendar a matemática que descreve os objectos em movimento.
    Marcus du Sautoy irá visitar a França de René Descartes um grande matemático que conseguiu juntar a Geometria e a Álgebra. Analisará as propriedades dos números primos que foram descobertas por Fermat e que hoje usamos na nossa tecnologia moderna.
    Segue-se a matemática de Newton e Leibniz onde será contada a história de antagonismo existente entre dois dos maiores cérebros matemáticos da História. Por fim, analisaremos as implicações nas nossas vidas das descobertas matemáticas de mais três gigantes da Matemática: Gauss, Euler e Riemann.

    Episódio 4 - Rumo ao Infinito e Mais Além

    No último episódio desta série, Marcus du Sautoy abordará alguns dos maiores problemas matemáticos do século XX propostos por David Hilbert em 1900 e as histórias dos homens e mulheres que lutaram para conseguir solucioná-los.
    Desde os trabalhos de Cantor sobre os infinitos, a teoria do caos descoberta por Henri Poincaré, os grandes dilemas colocados por Gödel, amigo íntimo de Einstein, o trabalho de Paul Cohen sobre os diferentes tipos de matemática existentes, a Geometria Algébrica de André Weil e as novas linguagens matemáticas de Galois, Julia Robinson e Grothendieck.

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    Não Tem Senha
    Colaborador:: Ed

    quarta-feira, 29 de dezembro de 2010

    O brasileiro vive um eterno dilema do prisioneiro

    Assim como acontece com diversos outros assuntos, antes de eu resolver estudar Teoria dos Jogos a sério, achava que isso era algo complicado à beça. Os conceitos em si são relativamente simples, mas suas aplicações podem envolver alto grau de complexidade e importância - fazendo com que a sua compreensão seja um diferencial em algumas tomadas de decisão.
    The Art of Strategy Depois de passar pelo excelente Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life de Avinash Dixit e Barry Nalebuff (dica do meu amigo Pierre), cheguei a The Art of Strategy, dos mesmos autores (na verdade, esse segundo é uma atualização do primeiro - portanto, se for ler, leia o segundo).
    Este tijolo de quase 500 páginas apresenta situações bastante corriqueiras na explicação das teorias mais básicas. Mesmo abrangendo conceitos relativamente simples, desde John Nash (retratado por Russel Crowe em Uma Mente Brilhante) o tema já rendeu oito Prêmios Nobel ao estudiosos que exploram suas peculiares ferramentas.
    Um dos temas mais recorrentes em Teoria dos Jogos é o famoso Dilema do Prisioneiro. A idéia central de colaboração e conflito foi concebida por Merril Flood e Melvin Dresher no início da década de 1950 e, posteriormente, tomou sua forma mais conhecida através de Albert W. Tucker, resultando no seu enunciado mais difundido:
    Dois suspeitos são presos pela polícia pelo mesmo crime, mas as evidências contra ambos são insuficientes para uma condenação. Na tentativa de incriminá-los, oferece-se a ambos o mesmo acordo:
    .: Se um dos dois testemunhar contra o outro e este permanecer em silêncio, o alcaguete sai livre enquanto que o suspeito silencioso pega uma pena de dez anos de cadeia.
    .: Se ambos falarem, cada um fica cinco anos encarceirado.
    .: Se nenhum dos dois abrir a boca, ambos recebem uma pena menor, de seis meses de prisão.
    Os dois são mantidos incomunicáveis, sendo que um não saberá a decisão que o outro tomou. Como eles devem se comportar?
    Como os prisioneiros devem agir?
    Como podemos ver na representação gráfica acima, a melhor opção, pela lógica individual, seria um falar (LIVRE) e o outro ficar quieto (DEZ ANOS). Mas se ambos falarem, os dois ficarão presos por cinco anos.
    Assim, a melhor solução conjunta é que nenhum dos dois fale - o que resulta numa pena de seis meses para cada.
    Ainda que ficar preso seis meses seja pior do que sair livre, é bem melhor do que ficar cinco anos na cadeia - ou dez.
    O grande problema aqui é que para um ficar quieto, ele tem que ter a certeza de que o outro também não falará nada. Do contrário, este arrisca mofar dez anos na prisão. Noutras palavras, a melhor solução conjunta não é a melhor solução individual. Cada um precisa pensar na sua melhor estratégia considerando o que o outro vai fazer - e isso é a base da Teoria dos Jogos.
    * * * * * * * * * *
    Trazendo o Dilema do Prisioneiro para a vida real, podemos encontrá-lo em vários momentos da nossa vida. E é exatamente aí que essa teoria encaixa-se ao nosso dia-a-dia, no tema que venho abordando aqui regularmente: nossa tendência em sempre procurar levar vantagem.
    Quando alguém suborna um guarda (ou falsifica uma carteira de estudante), por exemplo, está buscando a melhor alternativa para si, isto é, pagar uma propina a alguém para livrar-se de um mal maior: uma multa e alguns pontos na carteira. O resultado disso, porém, é uma piora para os outros cidadãos, na medida em que o motivo do suborno é algum ato que transgride uma regra social que visa o bem comum.
    Safado é sempre o outro
    Uma infração de trânsito é algo que prejudica a todos - seja piorando o tráfego ou colocando a vida alheia em risco. O suborno representa, assim, comprar o direito de (provavelmente) prejudicar terceiros.
    Agir dessa forma egoísta significa, portanto, dedurar o prisioneiro na cela ao lado. Alguém que, apesar da situação, talvez não tenha culpa alguma. Buscar uma punição branda escapando da merecida prejudica todos os demais que respeitam as mais básicas normas de convívio.
    A própria corrupção é um desvio de conduta que se retroalimenta, instituíndo atalhos escusos que se entranham na sociedade. Ainda que ninguém queira passar seis meses na cadeia, cada vez que você faz isso abre um precedente para estar do outro lado na próxima vez e, assim, amargar os seus dez anos de prisão.
    * * * * * * * * * *
    Não sei se fui claro o suficiente na explicação, ou na sua transposição para o mundo real, mas parece-me que o brasileiro sempre prefere dedurar o outro, passar a perna no próximo, varrer seus pequenos delitos para baixo do tapete e que se dane o mundo. Não é preciso ter um prêmio Nobel na estante para perceber isso. Ou é...?

    quinta-feira, 23 de dezembro de 2010

    Façam fila! (ou não…)

    Professor Refael Hassin
    Crédito: AFTAU
    Se há alguma coisa que diferencia a humanidade dos animais, é que os humanos esperam em filas. Para fazer um depósito no banco, para pagar as mercadorias no armazém, até para votar — todos nós aprendemos a fazer fila, um atrás do outro. E aprendemos, mesmo que não gostemos disso, que é melhor sorrir e suportar.
    No entanto, tempo é dinheiro, e tanto as pessoas como os negócios podem sofrer na medida em que as filas se tornam cada vez maiores, diz o matemático Prof. Refael Hassin, da Universidade de Tel Aviv. Ele empregou a Teoria dos Jogos para estudar o tempo de espera nas filas e compreender as conseqüências econômicas. Suas descobertas — muitas das quais contrariam totalmente o “senso comum” — podem também virar a indústria dos serviços de cabeça para baixo, porque ajudam os negócios a ficarem mais rentáveis e tornar o mundo um lugar mais agradável para todos viverem.
    Os resultados da sua pesquisa foram recentemente publicados em Management Science.

    Um “Espresso” enquanto você espera

    Os negócios podem implementar sistemas para diminuir os tempos de espera e diminuir o número de consumidores frustrados que vão embora sem fazer uma compra. O Prof. Hassin nota que existem muitas soluções que as companhias poderiam adotar para melhorar o serviço ao consumidor. Uma taxa de entrada para uma fila mais rápida é uma das opções.
    “Eu não sugiro que as companhias saiam contratando mais caixas, assim que virem as filas crescendo”, diz ele. “Mas com alguma análise básica os picos de tempo de espera nas filas podem ser estabelecidos e os negociantes podem se assegurar que os fregueses continuem felizes durante a espera, oferecendo serviços e distrações, tais como TV ou, quem sabe, cappuccinos”.
    Mas algumas vezes as próprias filas são o problema, acredita o Prof. Hassin. Seu estudo sugere que os tempos de espera são afetados por um grande número de variáveis aleatórias e que as pessoas que se amontoam em um balcão podem ser servidas com mais eficiência do que pessoas que esperam na fila. Algumas vezes a desordem cria sua própria ordem.
    Em uma sorveteria, por exemplo, um consumidor que se esprema no balcão, vai esperar por menos tempo do que se o mesmo número de fregueses esperassem pacientemente em uma fila. Isso significa que mais sorvetes serão servidos e mais dinheiro entrará no caixa. “Se houver 10 pessoas em uma sorveteria, na média você vai ser atendido depois da quinta, se não esperar em uma fila organizada”, diz o Prof. Hassin.
    Prof. Hassin prossegue explicando: “É claro que eu poderia ser atendido primeiro, segundo ou mesmo em último lugar. Mas, na média, as estatísticas se baseiam nas estratégias de tomada de decisões humanas: se uma pessoa está decidindo se vai ou não entrar em uma loja e vê muitas pessoas já lá dentro, a maioria preferirá um atendimento desorganizado — porque existe a oportunidade de ser atendido antes do que se estivesse esperando pacientemente em uma fila”.

    Para a Democracia, é necessário “esperar a sua vez”?

    Tanto os fregueses como os comerciantes podem aprender com a pesquisa do Prof. Hassin. Embora pareça, intuitivamente, que a eqüidade seja observada quando as pessoas esperam pacientemente em filas, até que chegue sua vez, o Prof. Hassin diz que, quando se trata de fazer fila, a democracia é mais respeitada quando se fura a fila.
    “As pessoas nas filas tendem a pensar somente em si próprias e ignorar o impacto que podem causar sobre as demais”, diz o Prof. Hassin. “Se eu cheguei na fila primeiro e você chegou depois, você vai esperar mais por minha causa. Os fregueses freqüentemente são egoístas e ignoram os efeitos que seu comportamento tem sobre os demais”. Por isso, em alguns casos, é melhor gerenciar uma fila de uma maneira desorganizada e não-democrática, atender na ordem inversa da chegada, ou esconder informações sobre o tamanho da fila a fregueses em potencial, explica ele.
    ###
    A pesquisa do Prof. Hassin’s foi inspirada na ausência de um sistema de filas organizadas na sociedade Israelita. Suas descobertas estão disponíveis em “To Queue or Not to Queue” de autoria dos Professores Hassin e Moshe Haviv, no website do Prof. Hassin’s em http://www.math.tau.ac.il/~hassin/.
    ******************

    Observações do tradutor:

    Eu não poderia concordar mais com o Prof. Hassim! Basta se lembrar dos “profissionais de fila” nos postos de atendimento médico no Brasil… E lembrar quando foi a última vez (eu garanto que não foi há muito tempo…) em que você se viu em uma situação como a minha:
    Eu precisava fazer um depósito mixuruca de R$ 50,00, diretamente na conta de meu filho (tinha que ser na boca do caixa, porque a agência bancária dele é de Macaé). Entrei no banco, apenas um caixa funcionando, mas apenas duas pessoas na fila, também. Uma hora de espera! As duas pessoas que estavam na minha frente eram dois “enrolados” que queriam porque queriam ser atendidos, mas não sabiam onde tinham guardado os documentos, se a conta que desejavam mexer era corrente ou de poupança, etc. Depois de esperar por uma hora, eu fui atendido em exatos 25 segundos! (Eu estava com o dinheiro e o número da conta na mão…) Que diferença faria para as tais duas pessoas me deixarem passar sua frente? Nenhuma!… Apenas “elas chegaram antes”…
    Aliás, quem não “mofou” em uma fila, atrás de um contínuo de repartição pública ou office-boy com trocentos depósitos, cheques, pedidos de talão de cheques, extratos e outras mumunhas que eles levam naquelas malditas pastinhas?… Que se dane se “eles estão trabalhando”!… Os outros também têm mais o que fazer!
    Outra coisa que não é novidade: quando o Prof. Hassim fala em “Uma taxa de entrada para uma fila mais rápida ”, ele só está falando da velha conhecida dos brasileiros: a “taxa de urgência”… Funciona em qualquer cartório, repartição pública e concessionária de serviços públicos. “Criar dificuldades para vender facilidades” sempre foi o lema de qualquer burocracia…
    Mas você prefere um país “organizado” e “civilizado”?… Sem problemas!… Entre aí na fila…

    quarta-feira, 24 de novembro de 2010

    A matemática foi inventada ou descoberta?



    Na sua última obra, publicada no início deste ano sob o título Is God a Mathematician? (Deus é um matemático?), Livio trata de dar resposta à questão: as matemáticas preexistiam na Natureza, independentemente do cérebro humano ou, pelo contrário, são uma construção deste?

    Da antiguidade até hoje, cientistas e filósofos deslumbraram-se: como é possível uma disciplina aparentemente tão abstracta ser capaz de explicar de forma tão perfeita o mundo natural?

    Por exemplo, a miúdo, os matemáticos fizeram prognósticos sobre partículas subatómicas ou fenómenos cósmicos desconhecidos nesse momento, que posteriormente ficaram demonstrados.

    A questão é esta: as matemáticas inventam-se ou descobrem-se? Se, como Einstein insistiu, as matemáticas são um produto do pensamento humano, independente da experiência, como podem descrever e até predizer o mundo que nos rodeia?

    Revisão histórica

    As matemáticas são realidades da natureza, independentes do mundo material, que os homens descobrem progressivamente? Ou são, pelo contrário, a tradução realizada pelo espírito humano (ou pelo nosso cérebro) de estruturas ou leis preexistentes no mundo material antes dos matemáticos as observarem?

    Livio analisa na sua obra as diversas respostas dadas a estas perguntas ao longo da história. Em primeiro lugar, a tradição platónica assinalava que estas leis existiriam além do mundo material, no mundo das ideias.

    O homem, pelas suas limitações, não poderia ter acesso a esse mundo das ideias, mas aproximar-se-ia dele através da racionalidade. Assim, segundo o platonismo, o ser humano não inventaria as matemáticas, mas iria descobri-las infinitamente, já que ninguém pode fixar o limite do mundo das ideias.

    As hipóteses construtivistas, por seu lado, assinalam que existem leis de causalidade no universo a todos os níveis: no cosmos, na física microscópica, em biologia, etc.

    Outras interpretações

    Os humanos observam os fenómenos seguindo estas causalidades e esforçam-se por fazer aparecer, a partir delas, regularidades, utilizando para este trabalho ferramentas com que a evolução foi dotando o cérebro.

    Assim, a pouco e pouco, a evolução do homo sapiens permitiu refinar os recursos matemáticos do ser humano para estabelecer cada vez mais regularidades, mas isso não significa que os objectos matemáticos se encontrem na Natureza.

    Estes são, simplesmente, uma categoria particular com que o cérebro representa o mundo a partir das observações dos nossos sentidos.

    Outras interpretações mais actuais das matemáticas assinalam, por exemplo, que o universo não é que seja compatível com as matemáticas, mas é matemático em si mesmo (Max Tegmark) ou que o cosmos é como um computador quântico cuja evolução poderia programar-se utilizando a potência de algoritmos de informática quântica (Seth Lloyd).

    Dois papéis das matemáticas

    Para Livio, as matemáticas desempenham um duplo papel: activo e passivo. O primeiro, consiste no uso contínuo de ferramentas matemáticas nas ciências.

    O papel passivo, por sua vez, seria o daqueles postulados, conceitos e equações desenvolvidos pelos matemáticos durante séculos, sem referência alguma à experiência e que subitamente podem revelar-se como muito precisos e úteis para representar matematicamente objectivos de observação recentes.

    Por exemplo, a descoberta da elipse pelo matemático grego Menaechmus (350 a.C.) permitiu a Kepler e a Newton representar com suficiente precisão as trajectórias dos planetas.

    Além disso, Livio propõe distinguir entre descoberta e invenção. Por um lado, há conceitos matemáticos que foram inventados mas, por outro, as matemáticas reflectiriam uma parte das propriedades da Natureza.

    Deus e o infinito

    Para Lívio estas questões têm uma enorme importância, tanta que o autor as equipara a questões relacionadas com Deus.

    Assim, escreve: “se se pensa que compreender se as matemáticas foram inventadas ou descobertas não é assim tão importante, é preciso considerar a grande diferença entre “inventado” ou “descoberto” na seguinte pergunta: Deus foi descoberto ou inventado? Ou esta outra pergunta: os homens criaram Deus à sua imagem e semelhança ou foi Deus que os criou à sua própria imagem e semelhança?”

    Sobre as hipóteses da existência de Deus e do infinito, Livio esclarece a diferença entre ambos os conceitos para as matemáticas.

    Esta radicaria no facto de os cientistas não se cansarem de concretizar o conceito de infinito, ultimamente na cosmologia dos múltiplos universos. Mas, pelo contrário, renunciaram há muito proporcionar provas científicas da existência de Deus.

    Yaiza Martínez