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Já faz algum tempo que não posto no blog porque ando um pouco sem tempo já que assumi o cargo de professor no IFAL em Santana do Ipanema que fica bem distante de Maceió.

Atualmente, trabalho 3 dias da semana e nos outros dias me dedico a estudar, planejar aula e jogar poker.

Como vocês podem ver, tenho conseguido alguns bons resultados e acabei subindo de buy in depois de alguns sucessos. 

Atualmente jogo torneios cujo buy in é de no máximo 17 dólares. Isto porque sigo uma gestão bem conservadora de 400 buy ins. Na verdade, não tenho pressa de subir. Quero jogar sem sentir a pressão de ter que ganhar e não ter que ver meu bankroll em perigo diante de uma bad rum ou mesmo diante de sessões ruins ou mal jogadas.

E pensar que meu buy in máximo em dezembro do ano passado era de 80 centavos.

Tenho organizado meus horários para também me dedicar durante 1 ou 2 horas por dia para estudar o jogo através de vídeos, mas admito que não venho seguido à risca minha programação, até porque ainda estou me adaptando às mudanças que vem ocorrendo na minha vida.

Um dos objetivos era ingressar no IFAL. Outro grande objetivo era conseguir ter o poker como uma fonte de renda complementar e graças a Deus tem tudo ido bem.

Agora penso em tentar galgar outras posições. Penso em fazer o doutorado e penso também em quem sabe num dia não muito distante, viver exclusivamente do poker. Mas isso é pra bem mais pra frente..

Uma boa tarde e até mais.

Francisco Júnior

As virtudes da matemática

 

 

Algo que particularmente me impressiona é como o ensino de matemática é desprezado hoje em dia. E ouso dizer que não há ciência mais recompensadora para quem desejar se dedicar como amador que ela. 

A matemática não exige experimentos complicados e caros, o máximo que pede é as vezes um computador. Além de ensinar as virtudes do rigor, da honestidade, da abnegação, do amor aos fatos. 

E a matemática tem uma virtude que a faz preciosíssima hoje em dia, é imune à jumentalização do marxismo cultural. Quando Paulo Freire atrasou a educação brasileira para níveis pré-históricos, parece que nunca se dedicou às exatas. Quero ver em matemática algum aluno vir querer ensinar ao professor. Até hoje lembro meu pasmo no ginásio ao aprender números negativos, nunca sonhara que algo destes pudesse existir. Vá algum aluno querer ensinar "sabedoria telúrica" ao professor de cálculo integral e diferencial para jogar toda doutrinação freiriana na latrina. 

Ao pegar um livro de matemática, você nunca verá doutrinação esquerdopata. Os números são aqueles, firmes e sólidos. Não há luta de classes entre 0, 1, "pi", o "i" e o "e". Os números racionais não se levantam contra os irracionais, e os inteiros abraçam calorosamente os naturais. 

Ramo antiquíssimo da matemática era a geometria, cara a egípcios, gregos, astecas e todos mais, o estudo da geometria fez grandes homens. Quem entender os axiomas da geometria nunca mais falará bobagens sobre dogma e religião. E a álgebra? Esta sim foi a grande e mais bela filha do século XVIII, não o lixão do iluminismo, superamos finalmente os antigos em ciências por dominarmos a álgebra. E Descartes foi quem foi não porque disse o "Penso logo existo", mas porque finalmente casou a álgebra com a geometria no plano cartesiano. 

O que direi da lógica, então? Esta tem sido abandonada, mas não há ramo mais necessário ultimamente. Parece que a dissonância cognitiva é regra, a Lógica é cura desta doença. 

E a filha mais cruel da Matemática, a "Ciência do Estado", criada por um padre anglicano compilando certidões de batizado, a Estatística? Numa época em que se cospem informações mais manipulativas de pesquisas de opinião e estudos improváveis para dominar a sociedade, a Estatística está para a saúde mental como a vacina BCG está para a saúde de uma criança. 

Recompensadora para o homem é estudar a Matemática, por excelência a "Escrita de Deus". Não me pergunto se o marxismo cultural não desejou deprimir o ensino da matemática porque ela vacina contra a lavagem cerebral deles nas humanas. 

Nem digo sobre a necessidade da matemática para avançar nas ciências como Física e Química, daí para alguma tecnologia. O estado caquético da matemática no Brasil mostra o que devemos esperar de contribuição ao mundo. Zero. Zero cuja entrada no Mundo Medieval foi mais importante que a descoberta das Américas.

Estudem matemática. Por que dois mais dois são quatro, e há um só Deus, Pai Todo-Poderoso, criador do Céu e da Terra...

 

Frei Clemente Rojão (http://freirojao.blogspot.com.br)

Dividindo Pi por zero.

Pinóquio, Deus e a Incompletude de Gödel

O Philosoraptor tropeçou em uma questão profundamente filosófica, ligando a matemática à compreensão fundamental do Universo, nossa mente – e, para alguns, mesmo Deus. Pense bem. Esta forma de gerar um paradoxo fazendo com que uma declaração faça referência a si mesma foi o truque que o matemático Kurt Gödel utilizou em 1931 para provar seus Teoremas de Incompletude, entre as mais importantes descobertas científicas e filosóficas do século passado.

Marcus Dominus cita “a explicação mais curta ao Teorema de Gödel”, de autoria de Raymond Smullyan, e como ela é realmente curta, a traduzo na íntegra:

“Temos uma espécie de máquina que imprime frases em um tipo de linguagem. Em particular, algumas das frases que esta máquina pode (ou não) imprimir podem ser:
—— P*x (que significa que a máquina imprimirá x)
—— NP*x (que significa que a máquina nunca imprimirá x)
—— PR*x (que significa que a máquina imprimirá xx, o R é abreviação de repetição)
—— NPR*x (que significa assim que a máquina nunca imprimirá xx)
Quando a máquina imprime NPR*FUU, isso significa que ela nunca imprimirá FUUFUU. Que é o mesmo que NP*FUUFUU. Até aqui, tudo bem.
Agora, consideremos a frase NPR*NPR*. Esta frase significa que a máquina nunca imprimirá NPR*NPR*.
Pois bem, ou a máquina imprime NPR*NPR*, ou ela nunca imprime NPR*NPR*.
Se a máquina imprimir NPR*NPR*, então está imprimindo uma frase falsa. Mas se a máquina nunca imprimir NPR*NPR*, então NPR*NPR* é uma frase verdadeira que a máquina nunca irá imprimr.
Isso significa que ou a máquina ocasionalmente imprime declarações falsas, ou há declarações verdadeiras que ela nunca imprime. Qualquer máquina que imprime apenas declarações verdadeiras deve falhar em imprimir algumas decalarações verdadeiras; ou, inversamente, qualquer máquina que imprima todas as declarações verdadeiras possíveis também deve imprimir algumas falsas”.

Talvez a explicação mais simples e intuitiva do teorema de Gödel seja em verdade o paradoxo de Pinóquio proposto pelo Philosoraptor (ou o ainda mais simples “Eu estou mentindo”). O conceito chave é a auto-referência, a forma como tanto Pinóquio ou a impressora hipotética podem produzir declarações sobre si mesmos que levam a contradições. Porém a versão de Smullyan, um pouco mais longa, torna mais fácil perceber como se relaciona com a prova matemática de Gödel: a máquina capaz de imprimir declarações, incluindo sobre si mesma, é a aritmética, grosso modo, a própria matemática.

No início do século 20, matemáticos buscavam fundamentar toda a matemática sobre uma base clara, definida, livre de contradições. A mais bela e pura das ciências. A partir desta fundação sólida, áreas mais complexas da matemática e ciência poderiam ser assentadas, de forma que ao final toda e qualquer declaração formal pudesse ser demonstrada como verdadeira ou falsa. Uma das maiores obras representando este ideal foi o Principia Mathematica de Whitehead e Russell, em que a prova de que 1+1=2 só é alcançada na página 379 do primeiro volume – e completada na página 86 do segundo (PDF).

Foi durante este ideal acadêmico com grandes programas e mentes em busca da pureza e clareza do preto no branco que Kurt Gödel tropeçou ele mesmo com a prova de que este ideal era muito claramente… impossível. Através de sacadas completamente geniais envolvendo números de Gödel e diagonalização, os paradoxos lógicos como o de Pinóquio ou do barbeiro – proposto pelo próprio Russell – foram traduzidos em aritmética e demonstrados como problemas de todos os sistemas de proposições que possam fundamentar a aritmética que conhecemos. Kurt Gödel demonstrou que estes paradoxos não são meras curiosidades ou pequenas dificuldades que poderiam ser contornadas – como acreditava Russell –, e sim ilustrações de limitações fundamentais e insolúveis. Ou o sistema de proposições é consistente e incompleto – a impressora que imprime apenas verdades, mas não todas as verdades –, ou completo e inconsistente – a impressora que imprime todas as verdades, e mentiras também.

É desta forma que há na matemática uma série de declarações que não podem ser nem provadas nem refutadas. A Incompletude. Comumente estas declarações são tomadas como verdadeiras ou falsas com base na utilidade – ou sensatez (!) – de considerá-las verdadeiras ou falsas, reconhecidamente sem uma prova formal a sustentar tal posição, que se torna um novo axioma. Na mais pura e racional das ciências, pode-se dizer que há declarações que são tomadas com base em fé.

Muitos, inclusive este autor, talvez não se sintam confortáveis com a história contada desta forma, e com estas palavras, mas este autor pensa que a questão metafísica deve ser mencionada no mínimo como curiosidade histórica. Porque o próprio Gödel considerava a questão neste contexto.

Podemos imaginar que os teoremas de Gödel demonstram como uma máquina, um computador, e ainda mais uma impressora, teriam problemas em avançar muito na matemática. Por certo computadores são bons para cálculos, mas frente a uma questão que não possa ser provada verdadeira ou falsa, um paradoxo, o computador poderia travar, e um robô poderia exclamar “it does not compute!” e seu cérebro artificial explodiria, como nas obras mais antigas de ficção científica. Gödel levava isto um tanto a sério. Para ele, que nós possamos enxergar além destes paradoxos indicava que não somos robôs, que estamos acima das máquinas. Seríamos compostos de algo mais do que a simples mecânica de 1+1=2.

Esta crença em algo mais foi uma constante na vida de Gödel. Uma de suas maiores pretensões era transformar a metafísica em uma ciência exata. Talvez não seja assim tanta surpresa que uma das provas formais em que trabalhou por décadas era nada menos que a existência de Deus.

De forma muito simplificada, em seu argumento ontológico Gödel buscou formalizar idéias anteriores – de Santo Anselmo e Leibniz – que podem ser resumidas como “Deus é perfeito, logo existe”. Pode parecer tão trivial e inócuo quanto “Eu estou mentindo”, mas se lembre do que Gödel pôde fazer a partir de paradoxos lógicos. Teria ele repetido a façanha com Deus?

Bem, nem você nem eu nos lembramos de Gödel sendo saudado por matemáticos, lógicos, filósofos ou mesmo religiosos como “Aquele que provou a existência de Deus”. A resposta é não. Seu argumento ontológico está longe de ser uma prova sólida e revolucionária como seus Teoremas de Incompletude e outras obras publicadas. O próprio Gödel reconhecia como seu argumento não era definitivo
, tanto que não o publicou. Só conhecemos melhor seu desenvolvimento das idéias após sua morte, que era, com o perdão do péssimo trocadilho, um trabalho incompleto.

Mesmo a noção de Kurt Gödel de que nossa capacidade de enxergar além de paradoxos lógicos era um toque divino não é muito bem fundamentada. Que não somos limitados como computadores aritméticos é evidente, o que também deve ser evidente é que é mais comum que pensemos de forma ilógica e incoerente. Gödel via nossa capacidade de enxergar uma declaração como verdadeira ou falsa como derivada de uma lógica maior, a evidência contudo sugere que nossas certezas podem ser não raro fruto de simples arbitrariedades, desenvolvidas e racionalizadas a posteriori de forma inconsciente. Uma moeda justa lançada ao ar também pode decidir entre cara ou coroa, sem nenhum sistema axiomático ou conexão com uma entidade maior e perfeita.

Ironicamente, a própria fé metafísica de Kurt Gödel pode ser vista como uma destas arbitrariedades ultimamente incoerentes. Se ela o levou a desenvolver e provar algumas das mais revolucionárias idéias na história das idéias, no entanto, está mais do que demonstrado o valor do acaso.

(Sim, é Einstein ao lado de Gödel)

Fonte: http://scienceblogs.com.br

Formiga que Sabe Somar e Subtrair

Publicação Original do Teorema de Pick

Prova matemática da existência de Deus

Cientista, ex-Presidente da Academia de Ciências de Nova York.

Ainda estamos no amanhecer da era científica, e todo o aumento da luz revela mais e mais a obra de um Criador inteligente.

Nós fizemos descobertas estupendas; com um espírito de humildade científica e de fé fundamentada no conhecimento estamos nos aproximando de uma consciência de Deus.

Eis algumas razões para minha fé: Através da lei matemática podemos provar sem erro que nosso universo foi projetado e foi executado por uma grande inteligência de engenharia.

Suponha que você coloque dez moedas de um centavo, marcadas de um a dez, em seu bolso e lhes dê uma boa agitada. Agora tente pegá-las na ordem de um a dez, pegando uma moeda a cada vez que você agita o bolso. Matematicamente sabemos que:
 

A chance de pegar a número um é de um em dez;
 

De pegar a um e a dois em seqüência é de um em 100;
 

De pegar a um, dois e três em seqüência é de um em 1000 e assim por diante;
 

Sua chance de pegar todas as moedas, em seqüência, seria de um em dez bilhões.

Pelo mesmo raciocínio, são necessárias as mesmas condições para a vida na Terra ter acontecido por acaso:

- A Terra gira em seu eixo 1000 milhas por hora no Equador; se ela girasse 100 milhas por hora, nossos dias e noites seriam dez vezes mais longos e o Sol provavelmente queimaria nossa vegetação de dia enquanto a noite longa gelaria qualquer broto que sobrevivesse.

- Novamente o Sol, fonte de nossa vida, tem uma temperatura de superfície de 10.000 graus Fahrenheit, e nossa Terra está distante bastante para que esta “vida eterna” nos esquente só o suficiente! Se o Sol desse somente metade de sua radiação atual, nós congelaríamos, e se desse muito mais, nos assaria.

- A inclinação da Terra a um ângulo de 23 graus, nos dá nossas estações; se a Terra não tivesse sido inclinada assim, vapores do oceano moveriam-se norte e sul, tranformando-nos em continentes de gelo.

- Se nossa lua fosse, digamos, só 50.000 milhas mais longe do que hoje, nossas marés poderiam ser tão enormes que duas vezes por dia os continentes seriam submergidos; até mesmo as mais altas montanhas se encobririam.

- Se a crosta da Terra fosse só dez pés mais espessa, não haveria oxigênio para a vida.

- Se o oceano fosse só dez pés mais fundo o gás carbônico e o oxigênio seriam absorvidos e a vida vegetal não poderia existir.

É perante estes e outros exemplos que não há uma chance em um bilhão que a vida em nosso planeta seja um acidente.

É cientificamente comprovado o que o salmista disse:

“Os céus declaram a Glória de Deus e o firmamento as obras de Suas mãos.”

A. Cressy Morrison.
Fonte: Guia.heu.

Tarada por números

Proibida de estudar matemática, Sophie Germain ousou adotar um pseudônimo masculino e desafiou os preconceitos

Nos anos difíceis da Revolução Francesa, Sophie Germain (1776-1831) procurava algum assunto que prendesse sua atenção e a distraísse do terror das ruas de Paris. Confinada em casa, ela passava os dias na biblioteca do pai e foi atraída pela matemática desde que leu a história de Arquimedes. Segundo o relato lido, o matemático grego havia sido assassinado por um soldado romano invasor ao lhe repreender por ter pisado em suas figuras geométricas desenhadas no chão.

Se a paixão de Arquimedes pela matemática era assim grande, esse assunto deveria valer a pena. Mas os números ainda não eram para moças ou meninas como Sophie, que foi desestimulada pela sociedade a fazer o que queria. A jovem passou então a estudar às escondidas, quando todos em sua casa dormiam. Ela foi descoberta e seus pais passaram a esconder suas roupas e cortar as fontes de calor e luz da casa para que a moça não saísse da cama e passasse suas noites debruçada sobre os livros.

Sophie não pôde entrar nas escolas de Paris, mas persistiu, conseguiu conquistar o apoio de seus pais, estudou sozinha e contribuiu para a solução do Último Teorema de Fermat - proposto por Pierre de Fermat em 1637 e provado em 1993 - com o que hoje é conhecido como "Números Primos de Sophie Germain".

Para participar da comunidade matemática, ela submeteu seu trabalho ao alemão Karl Gauss, um dos mais respeitados matemáticos da época. Sophie escrevia-lhe cartas com o pseudônimo de Antoine-August Leblanc, um suposto promissor aluno que havia desistido da Escola Politécnica de Paris.

Salva-vidas
O matemático alemão era famoso por seu rigor acadêmico e pela sua arrogância com os jovens estudantes, mas se mostrou encantado e passou a respeitar o trabalho de "Monsieur Leblanc". Essa admiração não diminuiu mesmo quando Gauss descobriu que o nome de seu correspondente não era Leblanc, muito menos era ele um monsieur - a troca de idéias entre os dois através das cartas até aumentou.

A verdadeira identidade de Sophie foi revelada quando Napoleão ocupou a Alemanha e a moça apelou a um amigo comandante francês que garantisse a segurança de Gauss. O militar procurou o matemático e disse-lhe que tinha uma protetora. Sophie Germain temia que seu correspondente tivesse o mesmo fim de Arquimedes.

Fonte

Fractais: A Geometria do Caos e da Natureza

A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983), o criador da Teoria dos Fractais, insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos e dos processos do mundo real.

A palavra Fractal vem do Latim “fractus”, que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: “Frac” dá a ideia de fração (parte), e “tal” dá a ideia de total (todo). Fractais são Formas geométricas elementares, cujo padrão se replica indefinidamente, gerando complexas figuras que preservam, em cada uma de suas partes, as características do todo. Por isso, podem apresentar dimensão espacial inclusive fracionária. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte.

Podemos ver a ideia de Fractal no nosso corpo. Se tomarmos uma célula da nossa pele e a levarmos para um microscópio, veremos nessa célula todas as características da nossa pele. Examinando com mais cuidado, veremos lá a cor dos olhos; veremos se o cabelo é louro, se é preto, se é enrolado ou estirado. Veremos lá uma característica que o nosso avô teve, que não se manifestou em nós, mas vai se manifestar no nosso neto. Uma célula tem a nossa história, a história dos nossos ascendentes e dos nossos descendentes.

As principais características dos Fractais são: Extensão infinita dos limites; Permeabilidade dos limites e Autossimilaridade das formas e características.

Com a ideia de Fractal, deixamos de ver as coisas somente quantitativamente e passamos a vê-las também com um olhar qualitativo. 

Exemplos de Fractais:

Professores podem realizar inscrição para mestrado gratuito em matemática até 26/10

Professores interessados em realizar mestrado gratuito em matemática podem se inscrever no exame de admissão do Profmat (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) até as 23h59 do dia 26 de outubro, pelo site www.profmat-sbm.org.br. É cobrada taxa de inscrição de R$ 39.

O Profmat é um programa de pós-graduação gratuito, reconhecido pelo MEC/CAPES (Ministério da Educação/Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior). A prioridade é para professores da rede pública, que podem solicitar bolsas de estudo da Capes, no valor de R$ 1.200. Também são oferecidas vagas para os demais candidatos.

São oferecidas 1.575 vagas em 67 polos em todos os estados e no Distrito Federal - 80% das vagas são destinadas para professores das redes públicas da educação básica que atuem na docência de matemática. No momento da inscrição, o candidato deve indicar a instituição associada e o polo em que deseja estudar. As vagas para cada instituição podem ser consultadas aqui.

O exame será realizado no dia 26 de novembro, a partir das 13h. Serão 35 questões de múltipla escolha, com peso de 70% da prova, e três questões dissertativas, que irão compor 30% da nota final. A prova avaliará os seguintes itens:

• Construção de significados para os números;
• O conhecimento geométrico e a realidade;
• Grandezas e medidas e resolução de problemas do cotidiano;
• Variações de grandezas;
• Resolução de problemas algébricos;
• Organização de dados e tratamento da informação.

O resultado será divulgado no no prazo máximo de seis semanas após a realização do exame. Outras informações podem ser obtidas no edital do programa.

Fonte

Hotel de Hilbert e o infinito

Como será possível tratar com os alunos nas escolas o assunto “infinito”? Aqui me refiro ao infinito dos números. Uma ideia que normalmente vemos nos cursos de Análise Matemática (no meu caso para Licenciatura) a respeito do infinito, ou dos “tamanhos” do infinito, é o famoso Hotel de Hilbert.

Por definição, este hotel é hipoteticamente suposto com infinitos quartos. Se este hotel estivesse lotado, se ele fosse finito e mais um hóspede quisesse ser hospedado, isso seria impossível. O hotel de Hilbert, por ter um número infinito de quartos, poderá ser hospedado pelo hóspede da seguinte maneira: O hóspede do quarto 1 vai para o quarto 2, o do quarto 2 vai para o 3, o do 3 para o 4… o do quarto N para o quarto N+1, e assim por diante. No final teremos o quarto 1 vago para este novo hóspede.

Hoje eu trago um vídeo de aproxidamente 10 minutos da Equipe M3 da UNICAMP sobre o Hotel de Hilbert. Este vídeo pode ser mostrado também na escola, pois sua linguagem é facilmente compreendida por qualquer pessoa, mesmo não sendo alguém que estude matemática.

Fontes e leitura complementar: http://www.youtube.com.br e http://pt.wikipedia.org/wiki/Hotel_de_Hilbert

Sequencia de Fibonacci - Proporção Áurea

Durante o século XIII, o matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci propôs a seguinte sequência numérica:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…)

Essa sequência possui uma lei de formação simples: Cada elemento a partir do terceiro é obtido somando-se os dois números anteriores. Observe: 1+1= 2+1= 3+2= 5+3=8 e assim sucessivamente.

  Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da seqüência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.

  Observe alguns exemplos das aplicação da seqüência de Fibonacci e entenda por que ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática.

A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3×2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5×3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados adicionados para determinar os retângulos formam a seqüência de Fibonacci.

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da seqüência de Fibonacci.

Preconceito Implícito e que amputa

É noite de sexta feira. Formação pedagógica para professores da Educação de Jovens e Adultos. Entre os presentes, a formadora e vários professores de diferentes disciplinas. Vários assuntos e técnicas de ensino são tratados. Eu e mais um colega somos convidados a dar uma aula de matemática, assim como duas professoras de Cidadania se não me falhe a memória.

Após as aulas, a formadora comenta: "Veja como a aula de Cidadania dá um debate muito mais amplo, enquanto que a aula de matemática é muito mais direta e objetiva." E então eu resolvo comentar: "Realmente professora, os assuntos de matemática no Ensino Fundamental e Médio são muito objetivos e precisos do que os assuntos de Cidadania, que são muito mais subjetivos, mas esses mesmos assuntos de matemática tratados no ensino básico se tornam muito mais subjetivos e complexos quando estudados no ensino superior, de forma que é impossível se ter o domínio de todo o conhecimento sobre esses pequenos temas das aulas de Matemática.." Nisto, a professora de Cidadania emenda: - Porque se vocês forem estudar esses assuntos todos, vocês endoidam!

Obviamente depois desta sua brilhante conclusão, ela teve de me ouvir calada por alguns minutos e realmente não abriu a boca..

No entanto este tipo de comentário é mais comum do que incomum.. e também não surpreende por ter vindo de uma professora que não é professora de matemática..

O professor de matemática além das péssimas condições de trabalho que todo professor neste país enfrenta, também tem que lutar contra o preconceito que abarca esta disciplina, construída ao longo das últimas décadas, e alimentada por pessoas mal esclarecidas e intencionadas, entre elas, maus professores (de matemática ou não), maus pedagogos (a maioria) e criada também pelo mito criado sobre aquele que gosta de estudar matemática, que sempre é visto como um super-dotado ou louco.

A consequência disto é que os alunos já chegam às escolas sabendo-se incapazes de fazer matemática.. olhando para seu professor de matemática como um carrasco e enxergando a disciplina como um obstáculo em sua vida..

No entanto, sabemos que o objetivo da escola é unica e exclusivamente libertar os alunos para que estes possam descobrir que são sujeitos de mudança.. que eles não precisam aceitar serem subjulgados.. que eles podem lutar contra aquilo que lhes oprimem e a favor do que amam, mas para isto, eles tem que ter o mínimo de conhecimento sobre o que permeia sua sociedade, e para isto, o mínimo realmente, se dá quando este pode ler, escrever, interpretar e identificar formas, padrões e quantificar as informações.. aí é que está a grande importância da Matemática e da língua materna. 

Todas as disciplinas são de valor incalculável para qualquer aluno e este deve valorizá-las ao máximo, mas nenhuma pessoa pode se reconhecer um cidadão se não souber fazer uso das palavras e dos números.. porque até os animais menos complexos, como as abelhas, caracois, sabem se comunicar, identificar padrões, quantificar informações e fazer uso da memória.. porque os seres humanos não conseguem? Porque não querem ou porque lhes imporam que não são capazes disto..

Ainda pior, é saber que existem diversos pedagogos, defensores messiânicos de Paulo Freire que  super valorizam a escrita, a leitura e os conceitos humanos (e estão totalmente corretos!), mas renegam, desvalorizam e agem com desdém para com a matemática básica, o que de certa forma aumenta ainda mais o índice de inimizade dos alunos com relações às matérias que tratam dos números e das formas. Inclusive na universidade onde estudei essa "richa" é tão clara que chega a ser motivo de piada e de ameaças por parte de alunos de matemática que por um motivo ou outro entram em desacordo com a coordenação do curso e ameaçam levar o problema até o "prédio da Educação", centro do curso de pedagogia..

Além de existirem também aqueles pedagodos e professores de Didática que acreditam que é mais importante saber "passar o conteúdo" do que dominar o conteúdo. E como reflexo, temos professores de Português dando aula de Matemática, professores de Filosofia dando aula de Física e uma Educação há anos falida e renegada à vergonha. Mas com o Ideb cada dia mais alto!!

FJ

Questão Pedagógica

Dia Inesquecível

Dia da visita de acompanhamento do PROFMAT pelos professores do IMPA, dentre eles o famoso professor Paulo Cesar, que pode ser visto nos vídeos do site do IMPA, em aulas feitas para o PAPMEM, o curso de aperfeiçoamento para professores de matemática do Ensino médio. Me arrependi de não ter pego o autógrafo dele num livro meu, só o Elisângelo pegou.. aff.. como disse um parceiro.. se fosse um idiota de um cantor famoso ou um ator todos tinha pedido o autógrafo dele.. ¬¬

A Matemática e o comportamento humano

Existe um conceito matemático e estatístico muito importante que norteia estratégias, operações financeiras como as de seguro, e muitas outras que são vitais para a saúde financeira mundial. Esse conceito é chamado de Variância, e está presente em quase tudo que possamos imaginar, inclusive no poker, no mundo real, nas escolhas diárias, nos dados probabilísticos, no comportamento humano..

A variância é a distorção ou o afastamento que determinados dados estatísticos podem ter com relação a sua média (seja qual for a adotada). Exemplo: Sabemos que uma moeda, de material perfeito, perfeitamente polida e homogênea, tem exatamente 50% de chances (probabilidade) de ao ser jogada ter sua face a qual chamamos de cara, voltada para cima, assim como de ter sua face coroa voltada para cima. No entanto se jogarmos a moeda um número pequeno de vezes, não raro, os dados obtidos dos lançamentos se afastam dessa média, que só se mostra verdadeira quando os dados são realmente em grande número ou mais precisamente tenderem a um número infinito de lançamentos.. esse afastamento da média é o que chamamos de variância.. e ela pode ser maior ou  menor (para cima ou para baixo) dependendo de quão se afaste da média conhecida. Outros exemplos são as pesquisas eleitorais em que os apresentadores de jornais falam: - "Fulaninho teve 30%  das intenções de voto e Sicraninho 15% das intenções de votos. A margem de erro da pesquisa é de 2% para mais ou para menos." - Esse 2% é exatamente a variância e quer dizer que os dados reais podem se afastar dessa média de confiabildiade em exatamente 2% no máximo.

No poker também, quando levamos uma surra do baralho, mesmo jogando direito e concentrado ou quando ganhamos 10 buy ins em 100 mãos na primeira vez que resolvemos jogar com dinheiro real, só há uma explicação: Variância. Por isso, perder ou ganhar no poker é tão normal.. e por isso também não podemos tiltar com isso.. temos que encarar só como mais um dia chuvoso ou ensolarado e saber que na soma dos dias o que realmente vai importar é a sua habilidade..

Pois bem, com relação às pessoas, desobri que a variância explica ou pelo menos esclarece uma boa parte das distorções ou instabilidade no comportamento humano. Pessoas com grande senso de justiça, defensora de grandes ideais ou grandes julgadores do comportamento alheio tem uma enorme probabilidade de tender para uma contradição e nos causar grandes decepções, pois elas basicamente estarão se aproximando de uma média na qual quase todos nós nos encontramos, a média do egoísmo, da hipocrisia, da contradição.. assim como, se alguém é tido como incapaz, mau-caráter ou pilantra, acredite.. ele tem uma grande probabilidae de mudar e crescer, basicamente se aproximando de uma média na qual a maioria de nós estamos e pertencemos que é aquela onde mora valores como solidariedade, companheirismo, humildade diante da vida..

Isso também nos lembra muito o conceito budista de "andar no caminho do meio". Sempre o Budismo... vou acabar me tornando budista.. rsrsrs..

Por isso, atualmente estou ainda mais desconfiado de pessoas perfeitas, maravilhosamente humildes, bondosas, carentes, tímidas, que não caem em contradição.. porque é quase certo que sua decepção e surpresa serão tão grandes que se você não tiver uma boa compreensão da vida e de quanto somos instáveis, poderão inclusive lhe afetar e lhe afastar da sua média.. 

Por isso, procuremos sempre as pessoas que "vivem no caminho do meio" e sejamos essas pessoas..

FJ

"Pois só quem tem os sonhos mais básicos pode amar e dizer a verdade." (Cazuza)

Alguns E-bboks da Coleção do Professor de Matemática

Todos estes e-books foram encontrados no blog http://mat-av.blogspot.com que tem milhares de e-books em Matemática e Educação Matemática. Não deixem de visitar.

Temas e problemas

Temas e problemas
Elon Lages Lima, Paulo Cezar Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado

Colecção Professor de Matemática, n.º 17

Sociedade Brasileira de Matemática| 2003 | 193 páginas

on-line: 4shared.com

Descrição: Este livro aborda alguns dos principais tópicos matemáticos estudados no Ensino Médio. A teoria é apresentada de modo inteligível, porém breve, sendo logo acompanhada de problemas contextuais, que ilustram variadas aplicações dos temas estudados a situações concretas, procurando assim motivar e justificar a presença dos mesmos no currículo.

Análise Combinatória e Probabilidade

Análise Combinatória e Probabilidade
Augusto César de Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Pedro Fernandez

Colecção Professor de Matemática, n.º 2
Sociedade Brasileira de Matemática | 179 páginas
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Descrição: A Análise Combinatória costuma causar perplexidade a alunos e professores. De um lado, tem-se a variedade de problemas interessantes, de simples enunciados, que se enquadram no seu âmbito. Do outro lado, o grande desafio àimaginação que a soluçâo que a solução desses problemas representa, sendo aparentemente cada um deles um caso em si, não enquadrável numa teoria geral. Essa idéia aparente, contudo, não écorreta. Há princípios gerais que permitem submeter muitos desses problemas a técnicas organizadas de resolução. Expor alguns desses princípios e ensinar, mediante diversos exemplos, como aplicá-los, é uma das finalidades desse livro.

Logaritmos

Logaritmos
Elon Lages Lima

Colecção Professor de Matemática, n.º 1

Sociedade Brasileira de Matemática | 2002| 132 páginas

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Descrição: No livro, as funções logarítmicas e exponenciais são apresentadas dentro de uma concepção moderna, onde o número e os logaritmos naturais são destacados. Isto permite exibir várias aplicações da função exponencial de base e a problemas interessantes. O estudo dos logaritmos sob forma geométrica torna particularmente fácil e agradável o estabelecimento de suas propriedades fundamentais, como a desigualdade ilustrada na primeira capa do livro.

Coordenadas no Plano

Coordenadas no Plano
com as soluções dos exercícios
Elon Lages Lima

Colecção Professor de Matemática, n.º 7

Sociedade Brasileira de Matemática | 2002| 330 páginas

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Descrição: O tema principal aqui abordado é o uso de coordenadas como método para estudar Geometria Plana. Isso é feito em três etapas. A primeira parte consta de uma apresentação breve e simplificada da Geometria Analítica Plana. Na segunda parte, são introduzidos os vetores. Na terceira, a aplicação de coordenadas e vetores para estudar as transformações geométricas mais simples, como as isometrias, as semelhanças e as transformações afins do plano. Por último, são apresentadas as soluções dos exercícios propostos, antes editados separadamente no livro "Problemas e Soluções – Geometria Analítica, Vetores e Transformações Geométricas", do mesmo autor e com o mesmo colaborador. A exposição é feita de modo bastante elementar, tendo em vista o público a que se destina: alunos e professores do ensino médio, e alunos de licenciatura em Matemática.

Isometrias

Isometrias
Elon Lages Lima

Colecção Professor de Matemática, n.º 12

Sociedade Brasileira de Matemática | 1991 | 94 páginas

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Descrição: Em Geometria Elementar, costuma-se dizer que duas figuras são congruentes quando é possível deslocar uma delas até fazê-la coincidir com a outra. Essa ideia levanta algumas questões como, por exemplo: qual a natureza e significado desse deslocamento? Ou então: em que ambiente deve o deslocamento ter lugar? Ou ainda: existe alguma lista (de preferência resumida) de deslocamentos-padrão tais que toda congruência se realiza por meio de um deles? O livro tem por objetivo estudar, de forma singela, os deslocamentos de reta no espaço, aos quais chamamos aqui de isometrias. A apresentação é sintética, isto é, segundo padrões tradicionais da Geometria Euclidiana. O uso de coordenadas se restringe a duas ocasiões. Ele contém uma apresentação das rotações, translações e reflexões, no plano e no espaço, e a prova de que as isometrias mais gerais possíveis se reduzem essencialmente a essas. É também analisada a questão de saber quais isometrias podem ser obtidas como resultado de um movimento e abordado o problema de identificar a composta de duas isometrias. A exposição tem nível estritamente elementar, estando ao alcance do entendimento de professores secundários, alunos de cursos para formação de professores ou mesmo estudantes do segundo grau interessados em Geometria.

Medida e Forma em Geometria

Medida e Forma em Geometria
Elon Lages Lima

Colecção Professor de Matemática, n.º 3

Sociedade Brasileira de Matemática | 1997 | 98 páginas

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Descrição: O livro aborda de maneira elementar e sistemática dois temas geométricos fundamentais e interligados, a saber, a medida das figuras geométricas (comprimento, área e volume) e a noção de semelhança, que é o estudo das formas dessas figuras, independentemente da escala em que são medidas. Na medida das figuras tem origem a noção de grandezas incomensuráveis, portanto de um número irracional. A evolução histórica dessa ideia é descrita no texto. Para cálculo efectivo dos volumes, utiliza-se o princípio de Cavalieri, cuja aplicação é amplamente explorada. Por sua vez, a noção de semelhança é apresentada sob a forma de um conceito moderno, que permite empregá-la em todas as situações onde se tem ampliação ou redução de uma imagem.

Meu Professor de Matemática e Outras Histórias

Meu Professor de Matemática e Outras Histórias
Elon Lages Lima
Colecção Professor de Matemática, n.º 4

Sociedade Brasileira de Matemática | 1991 | 206 páginas

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Descrição: Esse livro é um texto de apoio utilizado nos Cursos de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Segundo Grau, um programa organizado pelo IMPA, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, com patrocínio de VITAE, Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social. Ele é uma colecção de crónicas e comentários, mais ou menos independentes, em torno de um tema comum: a Matemática que se estuda nos últimos três anos que antecedem a Universidade. Foi pensado e escrito para ser útil aos professores de Matemática do segundo grau, aos alunos dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática e, mais geralmente, a todos aqueles que apreciam e cultivam a Matemática. Os tópicos aqui abordados são expostos de forma clara e amena, porém com a devida seriedade, de modo a situar a Matemática num contexto cultural, histórico e pedagógico.

 

Esperança Matemática

Imaginemos a seguinte situação: o jogo da cara ou coroa; quando vencer ganho uma ficha, quando perder perco outra ficha. Dado que em cada jogada tenho 50% de probabilidades de vitória, a longo prazo o meu resultado económico tenderá para o empate. Simples e intuitivo! Diz-se então que o jogo é equitativo, ou seja, o seu rendimento (esperança matemática) é igual a 1.

Em termos matemáticos, o rendimento (R) de uma aposta é definido como o produto entre a probabilidade (P) do evento em que se apostou e o número (n) das apostas em que se ganhariam se aquele evento se verificasse (ou seja, se se ganhasse): R = n x P

Um jogo cujas apostas tenham sempre um rendimento maior do que 1 diz-se "vantajoso" porque a sua prática permite receber, a longo prazo, uma importância total superior ao montante do dinheiro dispendido. Quando o rendimento é igual a 1, estamos perante um jogo "equitativo" - é paga exactamente a mesma quota calculada e, a longo prazo, as quantias ganhas equilibrar-se-ão com as perdidas. Um jogo cujas apostas têm sempre um rendimento menor do que 1 diz-se, enfim, "desvantajoso" porque a sua prática vai permitir receber, a longo prazo, uma quantia total inferior ao montante do dinheiro dispendido.

Passemos à frente.

Joguemos outra vez cara ou coroa, mas desta vez a moeda não é de todo equilibrada: o meu lado é mais leve e sai apenas 1 vez em cada 4; decerto, não me convém jogar, porque para mim se trata de um jogo claramente desvantajoso (mas vantajoso para o meu adversário). Porém, desvantajoso até que ponto? A cada 4 lances recebo 2 fichas e pago 4, com um saldo negativo de 2 fichas, igual a uma média de meia ficha perdida por lance. Em termos de rendimento: R = 0,25 x 2 = 0,5. Um verdadeiro desastre!

Suponhamos que um espectador benevolente decida oferecer em cada jogada uma ficha ao vencedor; então, quando vencer recebo 3 fichas e quando perder continuo a perder 2 e o resultado económico melhora, mas mantém-se negativo: perco ainda 3/4 das fichas por jogada, com R = 0,25 x 3 = 0,75.

Se agora o espectador decidir oferecer ao vencedor 2 fichas por jogada, a situação regressa ao empate: por cada 4 jogadas recebo e pago 4 moedas.  O jogo volta a ser equitativo e a minha decisão de jogar ou não torna-se matematicamente indiferente (R = 0,25 x 4 = 1).

O espectador está a divertir-se imenso e decide aumentar os seus donativos: a cada jogada oferece 4 fichas ao vencedor. Neste ponto, o jogo torna-se vantajoso também para mim: 1 jogada em cada 4 recebo 6 fichas  enquanto continuo a pagar as minhas 4. O saldo é, portanto, positivo em 2 fichas por cada 4 lances, igual a 3/2 fichas por lance (R = 0,25 x 6 = 1,5).

Em substância, o jogo em si coloca-me em desvantagem, mas um factor externo (o espectador) pode drasticamente mudar o meu rendimento. Não se trata de um discurso ocioso, o da esperança matemática é um dos conceitos fundamentais do poker e cara ou coroa é apenas uma simplificação,  para tornar evidente o que estamos a tratar. A minha moeda desiquilibrada será a minha mão com as suas probabilidades de vitória e o espectador benevolente será o pot, as fichas jogadas até aquele momento.

por Dario De Toffoli

Bola da vez: Concurso IFAL.

Vamo que vamo..

Mateus 14:14-21 e o Paradoxo de Banach-Tarski

Volker Runde, publicado em Pi in the Sky, n.2

Ou O que a Matemática e os Milagres têm em Comum

E ele, ao desembarcar, viu uma grande multidão; e, compadecendo-se dela, curou os seus enfermos. Chegada a tarde, aproximaram-se dele os discípulos, dizendo: O lugar é deserto, e a hora é já passada; despede as multidões, para que vão às aldeias, e comprem o que comer. Jesus, porém, lhes disse: Não precisam ir embora; dai-lhes vós de comer. Então eles lhe disseram: Não temos aqui senão cinco pães e dois peixes. E ele disse: trazei-mos aqui. Tendo mandado às multidões que se reclinassem sobre a relva, tomou os cinco pães e os dois peixes e, erguendo os olhos ao céu, os abençoou; e partindo os pães, deu-os aos discípulos, e os discípulos às multidões. Todos comeram e se fartaram; e dos pedaços que sobejaram levantaram doze cestos cheios. Ora, os que comeram foram cerca de cinco mil homens, além de mulheres e crianças. – Mateus 14:14-21

Por que um artigo que deveria ser sobre matemática começa  com a alimentação dos cinco mil?
Nos anos vinte dois matemáticos poloneses – Stephan  Banach e Alfred Tarski – provaram um teorema matemático  que soa muito como a alimentação de cinco mil. Em sua  honra, ele é chamado paradoxo de Banach-Tarski*. As  conseqüências do paradoxo de Banach-Tarski são, por  exemplo:

Uma laranja pode ser cortada em um número finito de  pedaços, e esses pedaços podem então ser juntados  novamente para formar duas laranjas, cada uma tendo o  mesmo tamanho da que foi cortada em pedaços.

Outra conseqüência, ainda mais bizarra, é:

Uma ervilha pode ser cortada em um número finito de  pedaços, e esses pedaços podem então ser reagrupados para formar uma bola sólida com um diâmetro maior do que a distância da Terra ao Sol.

Mais geralmente, sempre que você tiver um corpo tridimensional (com algumas restrições), você pode obter qualquer outro corpo ao quebrar o primeiro em pedaços e reagrupar as partes. Transformar cinco pães e dois peixes em comida suficiente para alimentar uma multidão de mais de cinco mil pessoas parece então um exercício simples.
Se você leu até aqui, sua atitude presumivelmente é uma das duas:

• Sua crença na verdade absoluta dos teoremas matemáticos é tão forte que faz com que engula o paradoxo de Banach-Tarski.
  
• Você é um cético tão vigoroso, e assim nem toma a alimentação dos cinco mil nem o paradoxo de Banach-Tarski de forma literal.
  

Se você cai na primeira categoria, provavelmente há pouco incentivo para que continue lendo este artigo. Do contrário, acho que sua atitude é melhor descrita da seguinte forma: Você pode acreditar na estória da alimentação dos cinco mil mas não tomá-la literalmente, e se você ouve falar de um teorema matemático cujas conseqüências são obviamente absurdas, você tende a achar que o teorema está errado.

Pegue uma laranja e uma faca afiada. Corte a laranja em pedaços e tente formar com os pedaços dois globos com aproximadamente o mesmo tamanho. Se os pedaços forem suficientemente pequenos, cada um desses globos será razoavelmente parecido com uma bola, mas é claro, cada uma com um volume que é mais ou menos a metade da laranja original. Talvez você não tenha cortado a laranja do jeito certo. Você pode tentar sua sorte com centenas de laranjas: acabará produzindo toneladas de bagaço, mas nenhuma corroboração do paradoxo de Banach-Tarski. Isso não parece mostrar que o paradoxo Banach-Tarski está errado?

O paradoxo de Banach-Tarski é um teorema que chamamos de teorema de existência: há uma forma de dividir uma ervilha de forma que os pedaços possam ser reagrupados em, digamos, uma estátua em tamanho natural de Stefan Banach. O fato de você não conseguir encontrar tal forma não significa que ela não existe – você pode simplesmente não tê-la encontrado ainda. Deixe-me clarificar com um exemplo de aritmética elementar. Um inteiro positivo p é chamado primo se 1 e p são seus únicos divisores; por exemplo, 2, 3 e 23 são primos, enquanto 4 = 2.2 e 243 = 3.81 não são. Os gregos antigos sabiam que todos inteiros positivos têm uma fatorização em primos: se n é um inteiro positivo, então há números primos p1,…..,pk de forma que n = p1….pk. Para um n pequeno, tal fatorização em primos é fácil de encontrar: 6 = 2.3, 243 = 2.3.3.3.3 e 6785 = 5.23.59, por exemplo. Há essencialmente apenas um jeito de encontrar uma fatorização em primos – tentando. Achar a fatorização de 6785 – armado apenas com lápis e papel – deve ter tomado certo tempo. Agora pense em um número grande, digo, realmente grande:

7380563434803675764348389657688547618099805.

Esse é um número positivo sem nenhum problema, e o teorema diz a você que ele tem uma fatorização em primos, mas – por favor! – não gaste horas, dias ou mesmo anos de sua vida tentando achá-la. Você deve pensar: para que os computadores foram inventados? É fácil escrever um pequeno programa que produz a fatorização em primos de um inteiro positivo arbitrário (e ele pode mesmo produzir uma de 7380563434803675764348389657688547618099805 em um período de tempo razoável). Contudo, o tempo médio que tal programa levaria para achar a fatorização de um inteiro n aumenta dramaticamente à medida que n fica maior: para um n suficientemente grande, o tempo que até o mais rápido supercomputador disponível hoje levaria – em média – para achar a fatorização em primos de n seria maior que a idade do universo.

Assim, embora a fatorização em primos de um inteiro positivo sempre exista, ela pode ser impossivelmente difícil de encontrar. De fato, isto é algo bom – é o coração dos códigos de chaves públicas que tornam as transações de cartão de crédito na internet seguras, por exemplo. Agora, pense de novo no paradoxo de Banach-Tarski. Apenas porque você não pôde fazê-lo funcionar na sua cozinha (assim como você não pôde encontrar a fatorização de um certo inteiro muito grande) isso não significa que o teorema é falso (ou que esse inteiro particular não tenha uma fatorização em primos).

Vamos tentar refutar o paradoxo de Banach-Tarski com a única ferramenta que funciona em matemática: pensamento puro. O que faz o paradoxo de Banach-Tarski desafiar o senso comum é que, aparentemente, o volume de algo aumenta do nada. Você certamente conhece um certo número de fórmulas para calcular os volumes de certos corpos tridimensionais. Por exemplo, se C é um cubo cujas arestas têm o comprimento l, então o volume V (C) é l³; se B é uma bola com raio r, então seu volume V (B) é 4/3¶r³.

Mas qual é o volume de um corpo tridimensional arbitrário? Não importa como o volume de um corpo concreto é calculado, o seguinte é certamente verdade sobre o volume de corpos tridimensionais arbitrários:

- Se o corpo ~B é obtido do corpo B simplesmente movendo o corpo B no espaço tridimensional, então V (~B) = V (B);

- Se B1, . . . ,Bn são corpos no espaço tridimensional, então o volume de sua união é menor ou igual à soma de seus volumes, i.e.,

- Se B1, … , Bn são corpos no espaço tridimensional de forma que nenhum deles possui um ponto em comum, então o volume de sua união é igual à soma de seus volumes, i.e.;

Assim, digamos que B sej
a um corpo tridimensional arbitrário, e digamos que B1, … , Bn sejam subconjuntos de B de forma que nenhum deles tenha qualquer ponto em comum e B = B1 U … U Bn.

Agora, mova cada Bj no espaço tridimensional, e obtenha ~B1, … , ~Bn. Finalmente, reúna ~Bj novamente e obtenha outro corpo ~B = ~B1 U … U ~Bn. Agora nós temos para os volumes de B e ~B:

Isto significa que o volume de ~B deve ser menor ou igual ao volume de B – não pode ser maior. Banach e Tarski estavam errados! Será mesmo?

Nossa refutação de Banach-Tarski parece perfeita. Tudo de que precisamos foram três propriedades básicas do volume de corpos tridimensionais. Mas isso era tudo? Por trás de nosso argumento, havia uma suposição oculta – todo corpo tridimensional tem um volume. Se nós deixarmos esta suposição, nosso argumento subitamente colapsa. Se apenas um dos corpos Bj não tem volume, toda nossa cadeia de (in)equações não faz mais sentido. Mas por que um corpo tridimensional não deveria ter volume? Isso não é óbvio? O que é de fato verdade é que todo pedaço de laranja que você pode possivelmente produzir com uma faca tem um volume. Por esta razão, você nunca será capaz de usar o paradoxo de Banach-Tarski para reduzir seus gastos com alimentação. Uma conseqüência do paradoxo de Banach-Tarski é portanto que há um jeito de cortar uma laranja para que você possa formar, digamos, uma abóbora gigante com os pedaços – mas você nunca será capaz de fazer isso por si mesmo usando uma faca. Que tipo de lógica bizarra pode fazer alguém aceitar isso?

Talvez você esteja querendo ficar a par do axioma de escolha:

Se você tem uma família de conjuntos não-vazios S, então há uma forma de escolher um elemento x de cada conjunto S nessa família.

Isso soa plausível, não? Apenas pense em um número finito de conjuntos não-vazios S1,…Sn: Pegue x1 de S1, e então prossiga para S2, e finalmente pegue xn de Sn. O que o axioma da escolha tem a ver com o paradoxo de Banach-Tarski? Como se revela, muita coisa: Se o axioma da escolha é verdadeiro, então o paradoxo de Banach-Tarski pode ser derivado dele e, em particular, deve haver corpos tridimensionais sem volume. Assim, a resposta à questão de se o paradoxo de Banach-Tarski é verdadeiro depende se o axioma da escolha é verdadeiro.

Certamente, o axioma da escolha funciona para um número finito de conjuntos não-vazios S1,…,Sn. Agora pense em uma seqüência infinita S1, S2,… de conjuntos não-vazios. Novamente, pegue x1 de S1, então x2 de S2, e apenas continue. Você nunca chegará a um fim, mas eventualmente produzirá um elemento xn de cada Sn. Assim, o axioma da escolha é verdade neste caso também. Mas e se tivermos uma família verdadeiramente arbitrária de conjuntos? E se tivéssemos de lidar com a família de todos subconjuntos não-vazios da linha real? Pode ser mostrado que esta família de conjuntos não pode ser escrita como uma seqüência de conjuntos. Como escolhemos um número real de cada conjunto? Não há um algoritmo que nos permita pegar um elemento de um conjunto, um segundo elemento de outro conjunto e, eventualmente, de pegar um elemento de cada conjunto na família. Mesmo assim, o axioma da escolha ainda parece plausível – cada conjunto S em nossa família é não-vazio e portanto contém algum elemento x – por que não deveria existir um jeito de escolher um elemento particular de cada tal conjunto?

Por outro lado, aceitar o axioma da escolha implica em fenômenos estranhos como o paradoxo de Banach-Tarski. Se o axioma da escolha é verdade, então devemos aceitar a misteriosa duplicação de laranjas. Se é falso, então por quê? Por favor, não tente provar ou refutar o axioma da escolha – você não conseguirá fazer qualquer uma das coisas. O axioma da escolha está além de prova ou refutação. Nós podemos supor que é verdadeiro, ou podemos supor que é falso. Em outras palavras, nós precisamos acreditar nele ou deixá-lo de lado. A maioria dos matemáticos hoje em dia acreditam no axioma da escolha por uma simples razão – com o axioma de escolha, eles podem provar teoremas úteis, a maioria dos quais é muito menos surpreendente que o paradoxo de Banach-Tarski.

Você está desapontado? Ao invés de elevar a alimentação dos cinco mil de um assunto de fé a uma conseqüência de um irrefutável teorema matemático, o paradoxo de Banach-Tarski exige que você aceite outro assunto de fé – o axioma da escolha – antes que possa aceitar o teorema. No final das contas, o paradoxo de Banach-Tarski não está assim tão distante da alimentação dos cinco mil…

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* O teorema é provado no artigo: S. Banach and A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parts respectivement congruents. Fund. Math. 6 (1924), 244-277.