Poker, Matemática e outras coisas: “Número de Deus” é 20, dizem matemáticos

Da Folha de S. Paulo – 11/08/2010

DA NEW SCIENTIST

Após anos de tentativas, pesquisadores conseguiram mostrar que é possível resolver em até 20 movimentos o “Cubo de Rubik” – um quebra-cabeça 3D criado em 1974 pelo húngaro Ernõ Rubik – a partir de qualquer arranjo inicial.

O feito foi realizado pela combinação do poder dos computadores usados pelo Google com alguns insights matemáticos, o que permitiu checar todas as 43 quintilhões de possíveis posições que o cubo pode assumir.

“O grande avanço foi descobrir um meio de resolver tantas posições, todas de uma vez, a uma grande velocidade”, afirmou Tomas Rokicki, programador de Palo Alto, Califórnia, que passou os últimos 15 anos procurando pelo número mínimo de movimentos necessários para resolver qualquer configuração do Cubo de Rubik.

Esse número mínimo de movimentos é chamado de “Número de Deus”, pois nem o Todo Poderoso conseguiria resolver mais rapidamente o quebra-cabeças.

EXPLORANDO A SIMETRIA

Para simplificar o problema, Rokicki e colaboradores usaram técnicas de um ramo da matemática chamado teoria de grupos.

Primeiro eles dividiram todas as possíveis configurações iniciais em 2,2 bilhões de conjuntos, cada um contendo 19,5 bilhões de configurações (2,2 bilhões x 19,5 bilhões = 42,9 quintilhões). O critério da divisão foi a maneira como essas configurações respondiam a um grupo de 10 movimentos possíveis.

Esse agrupamento permitiu que a equipe reduzisse o número de conjuntos para 56 milhões ao explorar as simetrias do cubo. Por exemplo, virar o cubo de cima para baixo não torna o problema mais difícil, então essas posições equivalentes podem ser ignoradas.

Isso ainda deixa um vasto número de configurações iniciais para ser checadas. A equipe então desenvolveu um algoritmo para acelerar esse processo.

BECOS SEM SAÍDA

Métodos anteriores resolviam cerca de 4.000 cubos por segundo, tentando um conjunto de posições iniciais e determinando se a posição resultante o aproximava da solução. Se não o fizesse, o algoritmo se desfazia desses movimentos e começava de novo.

O insight de Rokicki foi notar que esses becos sem saída são, na realidade, soluções para um cubo com uma posição inicial diferente. Isso o levou a um algoritmo que conseguia tentar um bilhão de cubos por segundo.

Uma maneira de entender seu algoritmo (conjunto de regras para solução de um problema) é a seguinte: suponha que a tarefa seja visitar um amigo em uma cidade desconhecida e que você tenha recebido instruções para virar à esquerda ou à direita, mas que as instruções não tenham incluído a posição inicial. Se você seguir as instruções a partir de uma posição inicial qualquer, é improvável que chegue a seu destino. Mas pareando os movimentos direita-esquerda à posição inicial correta o levará ao destino.

Da mesma forma, o algoritmo da equipe rapidamente pareia movimentos com a posição inicial correta, permitindo a resolução de cada conjunto de 19,5 bilhões de configurações em 20 segundos.

IMPÉRIO DA COMPUTAÇÃO

Mesmo a essa velocidade, levaria 35 anos para completar toda a tarefa em um computador pessoal. A solução da equipe foi pedir ajuda ao Google.

O engenheiro da empresa John Dethridge, em Mountain View, Califórnia, conseguiu acesso aos supercomputadores da empresa para resolver o problema em semanas.

Sabia-se que algumas configurações iniciais requerem apenas 20 movimentos para serem resolvidas, e alguns matemáticos suspeitavam que nenhuma configuração exigiria mais do que isso. A busca exaustiva da equipe de Rokicki mostra que a suspeita estava correta.

“Pesquisa desse tipo mostra como matemática pura pode ser usada para transformar problemas computacionais difíceis em problemas mais tratáveis”, diz Mark Kambites, um matemático na Universidade de Manchester que não participou do trabalho. “O Cubo de Rubik é um caso interessante para os métodos de teoria de grupos computacional.”

O trabalho ainda precisa passar pelo crivo da revisão por pares, mas Rokicki ressalta que a pesquisa é uma extensão de um trabalho anterior publicado no periódico “The Mathematical Intelligencer”. Naquele trabalho, o “Número de Deus” havia sido reduzido para 22.

Mais curiosidades sobre o Cubo Mágico

O cubo de Rubik possui 43.000.000.000.000.000.000 (43 quintiliões ou quintilhões (Escala curta)/43 triliões ou trilhões (Escala longa) de combinações possíveis diferentes.
Se alguém pudesse realizar todas as combinações possíveis a uma velocidade de 10 por segundo, demoraria 136.000 anos, supondo que nunca repetisse a mesma combinação.
Ernő Rubik, inventor deste quebra-cabeça, demorou um mês a resolver o cubo pela primeira vez.
É considerado um dos brinquedos mais populares do mundo, atingindo um total de 900 milhões de unidades vendidas, bem como suas diferentes imitações.

Número de combinações possíveis

O número total de todas as combinações possíveis que nos permite realizar no cubo de Rubik são as seguintes:

Por uma parte podemos combinar entre si, de qualquer forma, todos os vértices, o que dá lugar a 8 possibilidades.
Também temos as combinações dos cubos das arestas que são 12 existindo assim 12 possibilidades.
Sendo que tem 3 cores em cada cubo de vértice e sendo 8 cubos temos 3⁸ possibilidades, contudo apenas $frac {1}{3}$ dessas possibilidades procedem.
Sendo que temos 2 cores e cada cubo das arestas temos 2¹² possibilidades, contudo apenas $frac {1}{4}$ dessas possibilidades procedem.

Não foi um matemático. Como assim?!

O primeiro protótipo do cubo foi fabricado em 1974 pelo professor do Departamento de Desenho de Interiores na Academia de Artes e Trabalhos Manuais Aplicados em Budapeste (Hungria). Quando Rubik criou este quebra-cabeça, a sua intenção era criar uma peça que fosse perfeita em si mesmo, no que se refere à geometria. A sua principal função foi para ajudar a ilustrar o conceito da terceira dimensão aos seus alunos de arquitetura. A primeira peça que realizou foi em madeira e pintou os seus seis lados com seis cores distintas, para que, quando alguém girasse as faces do cubo, tivesse uma melhor visualização dos movimentos realizados.

Teorias sobre a Resolução

O cubo de Rubik é um teste básico para problemas de busca e enumeração.” diz Gene Cooperman . “Busca e enumeração é uma enorme área de pesquisas, abrangendo muitos pesquisadores trabalhando em diferentes disciplinas – da inteligência artificial às operações. O cubo de Rubik permite que os pesquisadores de diferentes disciplinas comparem seus métodos em um problema único e bem conhecido.

Os movimentos executados para resolver o cubo, na realidade são comutadores, definidos pela fórmula:

[a,b] = a * b * a ^ (-1) * b ^ (-1)

Solução ótima

Utilizando a teoria dos grupos, Gene Cooperman e Daniel Kunkle testaram não apenas movimentos individuais, mas também grupos de movimentos, de forma a otimizar a solução. Foram 100 milhões de movimentos por segundo, até chegar ao resultado final.

E parece haver espaço para melhorias nos cálculos. Em 1997, o professor de ciência da computação Richard Korf afirmou que a solução ótima para o cubo de Rubik é de 18 movimentos. Até então,o melhor método é chamado de método Fridrich ,elaborado por Jessica Fridrich ,no qual é possível resolver em menos de 30 segundos

Permutações, grupos e as Configurações do Cubo

Uma permutação é um rearranjo de um conjunto de objetos. Matrizes são convenientes para descrever permutações. Mas há um modo mais simples: a notação de ciclos. Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.

S1 → S2 →…→ Sn → S1 Os movimentos R; L; F; B; U; D permutam o conjunto das facetas. Um fato importante surge quando usamos a notação de ciclos: toda permutação se decompõe como “produto” de ciclos disjuntos.